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@Matias Exacto, acá esto es puro formalismo, pero para decir que un límite existe el resultado te tiene que dar un número (y obviamente si abrís por derecha y por izquierda tienen que coincidir). Si el resultado del límite es infinito, entonces por definición el límite "no existe".
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
2.5.
Dadas las siguientes funciones, identificar su dominio y calcular los límites indicados.
c) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+3}{x^{2}}$
c) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+3}{x^{2}}$
Respuesta
Arranquemos definiendo el dominio de la función \( \frac{x+3}{x^2} \):
La única restricción es que el denominador no puede ser cero. Por lo tanto, debemos pedir que:
\( x^2 \neq 0 \)
\( x \neq 0 \)
Así que el dominio de la función es todo \( \mathbb{R} \) excepto \( x = 0 \).
Ahora, calculamos el límite indicado:
\( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x+3}{x^2} \)
Si sustituimos \( x = 0 \) en la función, nos damos cuenta de que el denominador tiende a \( 0 \). Mientras tanto, el numerador tiende a 3. Es decir, tenemos un número sobre algo que tiende a cero, eso nos va a dar infinito. ¿Y el signo, \( + \) o \( - \) infinito? Bueno, abrimos el límite y nos fijamos el comportamiento por derecha y por izquierda.
Para determinar el signo de este límite infinito, notemos que si nos acercamos a \( 0 \) por la derecha (\( x \rightarrow 0^+ \)), tanto el numerador como el denominador son positivos, por lo que el resultado será \( +\infty \). Si nos acercamos por la izquierda (\( x \rightarrow 0^- \)), el numerador sigue siendo positivo y el denominador también (fijate que está elevado al cuadrado), por lo que el resultado será \( +\infty \).
Entonces:
\( \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{x+3}{x^2} = +\infty \)
\( \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{x+3}{x^2} = +\infty \)
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Matias
25 de marzo 20:13
flor, pese a que en ambos lados de +infinito el limite no existe, no?
Flor
PROFE
25 de marzo 22:45
En este caso por ejemplo sabemos que la función tiende a $+\infty$ cuando se acerca a cero, tanto por derecha como por izquierda, y eso nos aporta mucha información de la función (por ejemplo para más adelante cuando la querramos graficar), pero a los fines de decir si el límite existe o no, si te da infinito no existe (por más que coincidan en el signo como en este caso)
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